- Pengertian Interpolasi- Interpolasi Polinomial
Interpolasi adalah suatu cara untuk mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui. Dalam kehidupan sehari- hari ,interpolasi dapat digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi dimana fungsi tersebut tidak terdefinisi dengan suatu formula, tetapi didefinisikan hanya dengan data- data atau table yang tersedia.
Ada berbagai macam interpolasi berdasarkan fungsinya, di antaranya adalah interpolasi linier, interpolasi kuadrat, dan interpolasi polinomial. Dengan berbagai macam metode antara lain metode Neton dan metode Lagrange , namun disini kita akan membahas dengan metode Newton.
Terdapat perbedaan antara Interpolasi dengan Ekstrapolasi. Berikut penjelasannya agar dapat dipahami
- Interpolasi Polinomial (Polinom)
Adalah sebuah metode untuk menaksir (mengestimasi) nilai di antara titik- titik data yang tepat. Persamaan polinomial adalah persamaan aljabar yang hanya mengandung jumlah dari variabel x berpangkat bilangan bulat (integer). Bentuk umum persamaan polinomial order n adalah:
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn (1.1)
dengan a0, a1, a2, …, an adalah parameter yang akan dicari berdasarkan titik data, n adalah derajat (order) dari persamaan polinomial, dan x adalah variabel bebas. Untuk (n + 1) titik data, hanya terdapat satu atau kurang polinomial order n yang melalui semua titik. Misalnya, hanya ada satu garis lurus (polinomial order 1) yang menghubungkan dua titik (interpolasi linier) gambar 1.a, demikian juga tiga buah titik dapat dihubungkan oleh fungsi parabola (interpolasi kuadrat) gambar 1.b, sedang untuk 4 titik(interpolasi kubik) gambar 1.c.
Interpolasi polinom terdiri atas penetuan polinom unik orde ke-n yang cocok dengan n+1 titik data. Walaupun terdapat satu, dan hanya satu, polinom orde ke-n yang cock dengan n+1 titik, terdapat beragam bentuk matematik untuk pengungkapan polinom tersebut.
- Bentuk Umum Interpolasi Polinomial
Prosedur seperti dijelaskan diatas dapat digunakan untuk membentuk polinomial order ndari (n + 1) titik data. Bentuk umum polinomial order n adalah:
fn(x) = bo + b1(x – x0) + … + bn(x – x0)(x – x1) ... (x – xn – 1) (1.7)
Seperti yang dilakukan interpolasi linier dan kuadrat, titik-titik data dapat dilakukan dengan evaluasi koefisien b0, b1, ..., bn. Untuk polinomial order n, diperlukan (n + 1) titik data x0, x1, x2, ..., xn. Dengan menggunakan titik-titik data tersebut, maka persamaan berikut digunakan untuk mengevaluasi koefisien b0, b1, ...,bn.
b0 = f (x0) (1.8)
b1 = f [x1, x0] (1.9)
b2 = f [x2, x1, x0] (1.10)
bn = f [xn, xn – 1, ..., x2, x1, x0] (1.11)
Dengan definisi fungsi berkurung ([….]) adalah pembagian beda hingga.
Misalnya, pembagian beda hingga pertama adalah:
f [xi, xj] = (1.12)
Pembagian beda hingga kedua adalah:
f [xi, xj, xk] = (1.13)
Pembagian beda hingga ke n adalah:
f [xn, xn – 1, ..., x2, x1, x0] = (1.14)
Bentuk pembagian beda hingga tersebut dapat digunakan untuk mengevaluasi koefisien-koefisien dalam persamaan (1.8) sampai persamaan (1.11) yang kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (1.7) untuk mendapatkan interpolasi polinomial order n.
fn(x) = f (x0) + f [x1, x0](x – x0) + f [x2, x1, x0](x – x0)(x – x1) + … +
f [xn, xn – 1, ..., x2, x1, x0](x – x0)(x – x1) … (x – xn – 1) (1.15)
Persamaan (1.12) sampai persamaan (1.14) adalah berurutan, artinya pembagian beda yang lebih tinggi terdiri dari pembagian beda hingga yang lebih rendah, secara skematis bentuk yang berurutan tersebut ditunjukkan dalam Tabel 1.
 |
Tabel 1. Langkah skematis pembagian beda hingga
Contoh soal :
Cari nilai y untuk titik x=3 yang berada diantara titik-titik (3.2,22), (2.7,17.8), (1,14.2), (4.8,38.3) dan (5.6,51.7)
Sehingga, diperoleh :
a = -0.5275
b = 6.4952
c = -16.117
d = 24.3499
sehingga persamaan polinomialnya adalah
Untuk x = 3 didapatkan nilai y = 20.212
Jadi grafik tersebut diatas diperoleh titik baru yaitu (3,20.212)